< Linear Algebra - 1 >

1. 선형대수학 + 벡터 + 행렬 + Bra-ket notation + 벡터의 내적(inner product) + 벡터의 노름(Norm) + 벡터 공간 분석 + 벡터의 선형 결합(Linear combination) + 연산자

 

 

 

# 선형 대수학 (Linear Algebra)

: 양자 컴퓨팅에서 다양한 상태 및 동작들을 묘사, 추측하기 위해 사용하는 언어이자 많은 미지수와 식들의 관계를 표현하기 위한 도구

 

 

 

 

# 벡터

: 크기와 방향을 가진 양

: 벡터 공간(덧셈, 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있는 공간)의 원소  -->  추상적인 정의

 

 

- 열 벡터 (column vector)

ex. 

- 행 벡터 (row vector)

ex. ( 0 0 3 )

 

 

 

- 벡터의 덧셈

 

 

- 벡터의 스칼라 곱

 

 

 

 

# 행렬

: 숫자들을 행, 열에 맞춰 배열한 것으로, 행렬의 크기는 행과 열의 개수에 따라 정해짐

 

- 행렬의 덧셈과 스칼라곱

: 덧셈의 경우 같은 자리에 위치한 숫자끼리 더하고, 스칼라곱의 경우 모든 숫자들을 활용해 스칼라를 곱해주면 된다.

 

 

- 행렬의 곱셈

첫 번째 행렬의 열 개수와&nbsp; 두번째 행렬의 행의 개수가 일치해야 계산 가능

: m x n 행렬과 n x k 행렬의 곱 = m x k 행렬

: m x n 행렬과 n x 1 행렬의 곱 = m x 1 행렬  -->  열벡터 출력

 

 

 

 

# Bra-ket notation

: < > l  을 이용하여 벡터를 표현하는 표기법

ㅣv > : ket : 열벡터

< v ㅣ : bra : 행벡터

< V ㅣ W > : 두 벡터의 내적

 

 

 

 

# 백터의 내적(inner product)

: 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 나타내고 있는지에 대한 척도

ex. 같은 방향일때는 ㅣaㅣㅣbㅣ, 수직일때는 0, 반대 방향일 때는  -ㅣaㅣㅣbㅣ

 

 

- 백터 내적의 조건

조건 ① 연산결과는 하나의 상수가 되어야 함

조건 ② 연산 순서를 뒤바꿀 경우 연산 결과는 순서를 바꾸기 전 결과의 켤레값이 되어야 함

조건 ③ 0 벡터인 경우를 제외하고는 벡터의 자기자신의 내적값은 반드시 0 이상이여야 한다.

조건 ④ 분배 법칙을 적용한 것처럼 선형성이 성립해야 함

맨 위에서 차례로 한 줄씩 조건 2, 3, 4에 대한 내용

 

 

 

- 벡터 내적 계산방식

 

 

 

- 벡터의 노름(Norm)

: 벡터의 크기

 

 

 

- Hilbert space의 특징  -->  내적이 정의된 벡터의 공간임

 

 

 

 

# 벡터 공간 분석

- 벡터의 선형 결합(Linear combination)

각각의 fi 들은 벡터 공간이 정의된 field(체) F의 원소이다.

 

 

- 벡터의 선형 의존

: 벡터 공간의 부분집합 S에서 특정 벡터 ㅣv > 를 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현할 수 있을 경우

 

- 벡터의 선형 독립

: ~~의 모든 벡터들이 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없는 경우

 

 

- 벡터 공간의 기저(basis)

: 벡터 공간의 모든 원소를 선형 결합으로 나타낼 수 있고, 서로 선형 독립인 벡터들의 집합

 

 

 

 

# 연산자

: 벡터를 벡터에 대응시켜주는 규칙

 

- 선형 연산자

: 아래 3가지 조건을 만족하는 연산자

-->&nbsp; 행렬로 선형연산자 표현 가능

+ Ω  => 선형 연산자를 의미하는 기호

 

 

 

 

# 참고자료

: Qiskit-Dev-Cert-lectures + 주피터 노트북 자료 ( https://github.com/QuantumComputingKorea/Qiskit-Dev-Cert-lectures )